Описание

1. Среди студентов, сдавших экзамен по теории вероятностей выбирают наудачу одного. Пусть событие A состоит в том, что выбранный окажется старше двадцати лет, событие В – в том, что выбранный получил «отлично» на экзамене, а событие С – что он живет в общежитии.

а) Опишите событие .

б) При каком условии имеет место равенство ABC = A?

в) При каком условии выполняется соотношение  С?

г) Будет ли иметь место событие , если девятнадцатилетний Саша Петров получил на экзамене отметку «отлично»?

2. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую чем L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и  не зависит от его расположения на числовой оси.
3. Какова вероятность того, что две наудачу брошенные в круг точки окажутся внутри вписанного в него квадрата?
4. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найдите число таких номеров, если используются 24 буквы русского алфавита и 10 цифр (0, 1, …, 9).
5. Для дежурства на вечере путем жеребьевки выделяются 5 человек. Вечер проводит комиссия, в составе которой 10 юношей и 2 девушки. Найдите вероятность того, что в число дежурных войдут обе девушки.
6. В одной студенческой группе обучаются 24 студента, во второй – 36 студентов и в третьей – 40 студентов. По математическому анализу получили отличные отметки 6 студентов первой группы, 6 студентов второй группы и 4 студента третьей группы. Наугад выбранный студент оказался получившим по математическому анализу отметку «отлично». Какова вероятность того, что он учится в первой группе?
7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,85. Стрелок сделал 25 независимых выстрелов. Найдите наивероятнейшее число попаданий.
8. Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,9.

Определите вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут первого сорта.

9. Участник игры в лапту 5 раз бьет по мячу. Вероятность попадания в мяч лаптой при каждом ударе одинакова и равна р. Составьте таблицу распределения вероятностей числа попаданий в мяч.

Используя таблицу, покажите, что , где .

10. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X соответственно равны ; . Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин: а) ; б) ; в) .
11. Случайная величина X задана интегральной функцией

Найдите вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение в интервале . Постройте график интегральной функции и укажите отрезок, равный .

12. Случайная величина X имеет плотность вероятности …

Найдите интегральную функцию , постройте ее график и определите по графику вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [ ; 0]   .

13. Случайная величина X задана интегральной функцией, график которой представлен на рисунке. Найдите плотность вероятности и по виду функции определите, какое распределение вероятностей имеет эта случайная величина.
14. Игральный кубик подбрасывается 180 раз. Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что 5 очков появится от 24 до 36 раз. Оцените вероятность этого же события с помощью интегральной теоремы Лапласа.
15. Во сколько раз уменьшится максимальное значение ординаты нормальной кривой, если дисперсия случайной величины увеличится  в 9 раз?

16. Исследователь, интересующийся тарифным разрядом рабочих механического цеха, в результате опроса 100 рабочих получил следующие сведения:

5, 1, 4, 5, 4, 3, 5, 5, 2, 5, 6, 6, 4, 3, 1, 5, 2, 5,  5, 5, 3, 3, 3, 6, 6, 5, 6, 5, 3, 4,

5, 4, 6, 5, 2, 1,  4,5, 5, 3, 6, 4, 5, 5, 4, 3, 5, 5, 5, 4, 5, 6, 1, 5, 2, 6,4, 4, 3, 5,

6, 3, 5, 6, 2, 5, 4, 5, 5, 4,6, 5,  2, 5, 3, 4, 5, 6, 5, 5, 3, 5, 4, 6, 6, 5, 5, 4, 5,  5,

6, 5, 6, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 5.

Построить вариационный ряд, определить частоты, относительные частоты, накопленные частоты и накопленные относительные частоты.

17. По данным задания 16 определить среднее арифметическое, выборочную дисперсию, коэффициент вариации, моду и медиану.
18. Вероятность того, что наудачу выбранное из текста художественного произведения слово является именем существительным, равна 0,4. Какова вероятность того, что в случайно выбранном отрывке художественного произведения из 600 слов относительная частота появления имени существительного отклонится от вероятности этого события по абсолютной величине не более чем на 0,04?
19. Из большой партии изготовленных деталей по выборке объема n найдена средняя арифметическая длины детали, равная . Считая, что длина детали X – нормально распределенная случайная величина, найдите доверительный интервал, который с доверительной вероятностью  покрывает неизвестное математическое ожидание а длины детали, если генеральное среднее квадратическое отклонение = 0,5 мм:

20. Построить систему линейных уравнений для определения методом наименьших квадратов коэффициентов a₀ и a₁ при выборе регрессионного уравнения в виде: y=a₀+a₁x²

22 стр.