16. В первой урне находятся п1 белых и т1 черных шаров, во второй урне—п2 белых и т2 черных шаров. Сначала из первой урны во вторую перекладывается наугад к шаров, затем такое же число шаров так же наугад перекладывается из второй урны в первую.

1) Определите вероятность того, что после вскрытия первой урны в ней будет столько же белых и черных шаров, сколько было до проведения опыта.

2) После вскрытия первой урны оказалось, что в ней столько же белых и черных шаров, сколько было до проведения опыта. Вычислите вероятность того, что при этом условии из первой урны во вторую переложили l белых шаров.

п1=9, т1=8, п2=5, т2=8, к=3, l=2.

17. Вероятность попадания в цель при любом из п выстрелов равна р. Найдите вероятность то- го, что произойдет:

1) Ровно т попаданий.

2) Не менее т попаданий.

3) От т1 до т2 попаданий.

п=5, р=0,9, т=4, т1=1, т2=3.

18. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна р. Определите вероятность того, что среди п изготовленных изделий бракованными окажутся:

1) Ровно т изделий.

2) По крайней мере, т изделий.

р=0,01; п=200; т=6.

19. Вероятность распада атома радиоактивного элемента за заданное время равна р. Найдите вероятность того, что за это же время из п атомов распадутся:

1) Ровно т атомов.

2) От т1 до т2 атомов.

р=0,09; п=1400; т=110; т1=95; т2=180.

20. Из урны, в которой находится п1 шаров белого цвета, п2—черного и п3—синего, наудачу извлекается т=т1+т2+т3 шаров. Вычислить вероятность того, что среди них будет т1 белых шаров, т2—черных и т3—синих, если выбор производится:

1) С возвращением.

2) Без возвращения.

п1=4, п2=7, п3=4; т1=0, т2=4, т3=2.

21. В урне п1 белых шаров, п2 –черных и п3 –синих. Наудачу извлекается т шаров (без возвращения). Обозначим через x число вынутых белых шаров, а через h–черных.

Найдите:

1) Совместное распределение случайных величин x и h (ряд распределения).

2) Ряды распределения случайных величин x и h

3) Условные распределения случайной величины x при условии h, случайной величины h при условии x, проверить случайные величины на независимость

4) Значения двумерной функции распределения в заданных точках (x;y)

5) Ряд распределения новой случайной величины

6) Математическое ожидание и дисперсию случайных величин ξ и η.

7) Ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин ξ и η.

8) Предполагается, что за каждый вынутый белый шар полагается премия А1 рублей, черный А2 рублей, синий—А3 рублей. Кроме того известно, что белый шар весит В1 г, черный—В2 г , синий—В3 г. Случайная величина z1 — суммарная премия за все т вынутых шаров, а z2—их суммарный вес. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин ζ1 и ζ2.

22. В четырехугольник с вершинами в точках (a1,a2), (b1,b2), (c1,c2), (d1,d2) в соответствии с принципом геометрической вероятности падает частица. Пусть x и h – координаты по оси Х и У точки падения частицы.

Найдите:

1) Совместную функцию распределения случайной величины (ξ;η)

2) Совместную плотность распределения случайной величины (ξ;η).

3) Одномерные плотности и функции распределения случайных величин x и h.

4) Условные функции распределения и условные плотности распределения случайной величины x при условии h и случайной величины h при условии x. Проверьте, будут ли эти случайные величины независимыми

5) Значение функции распределения случайной величины в точке z.

6) Математическое ожидание и дисперсию случайных величин ξ и η.

7) Ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин ξ и η.

8) Математическое ожидание и дисперсию расстояния между этими точками.

23. Совместная плотность распределения случайных величин ξ и η задана формулой

где область D ограничена прямыми x=d, y=f и кривой . Найдите:

1) Постоянную С.

2) Значения двумерной функции распределения в заданных точках (x;y)

3) Одномерные плотности и функции распределения случайных величин ξ и η.

4) Условные функции распределения и условные плотности распределения случайной величины ξ при условии η и случайной величины η при условии ξ. Проверьте, будут ли эти случайные величины независимыми

5) Вычислите вероятность попадания вектора (ξ;η) в треугольник с вершинами в точках (z1,z2) (u1,u2) (v1,v2). (Записать интеграл, расставить пределы интегрирования, считать интеграл – не надо)

6) Значение функции распределения новой случайной величины в точке z. (Записать интеграл, расставить пределы интегрирования, считать интеграл – не надо)

7) Математическое ожидание и дисперсию случайных величин ξ и η.

8) Ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин ξ и η.

24. Случайные величины ξ и η – независимы и известны их плотности распределения и . Случайная величина . Найдите плотность распределения случайной величины µ.

25. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый к-ый договор. Оцените с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые нужно заключить, чтобы с вероятностью не меньшей, чем p, можно было утверждать, что частота страховых случаев отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на α.

k=7, p=0,95, α=0,07.

26. Посетитель тира платит за выстрел а рублей. При попадании в девятку получает премию b рублей, при попадании в десятку получает премию с рублей. Если стрелок не попадает ни в девятку, ни в десятку, то премия ему не выплачивается. Вероятности попадания в девятку, десятку и промаха равны p1, p2 и p3 соответственно. Число посетителей равно n. Найдите:

а) вероятность убытка у владельца тира;

б) вероятность того, что суммарная прибыль окажется больше m рублей.

а=15, b=20, c=40, p1=0,15, p2=0,05, p3=0,8, n=450, m=1500

27. Брошено две игральных кости. Найти условную вероятность того, что выпала хотя бы одна «1» при условии, что сумма очков равна 4.

28. Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых правильных положительных дробей будет не больше 0,25?

29. Имеется пять урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4 и 5 урнах—по 1 белому и 1 черному. Случайно выбирается урна и из нее вынимается шар. Он оказался белый. Какова вероятность того, что выбрана 4-я или 5-я урна?

30. Найти вероятность того, что в серии из 9 подбрасываний игральной кости 5 очков выпадет менее трех раз.